精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求點(diǎn)E到平面ACD的距離;
(III)求二面角A-CD-B的余弦值.
分析:(I)如圖所示,要證AO⊥平面BCD,只需證AO⊥BD,AO⊥CO即可,結(jié)合已知條件,根據(jù)勾股定理即可得到答案.
(II)以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OC,OA方向?yàn)閤,y,z軸正方向,建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD的法向量的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)E到平面ACD的距離h=
|
EC
n
|
|
n
|
,可求出點(diǎn)E到平面ACD的距離;
(III)結(jié)合(II)中結(jié)論,再由AO⊥平面BCD,即
AO
為平面BCD的一個(gè)法向量,代入向量夾角公式,即可求出二面角A-CD-B的余弦值.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(I)△ABD中,∵AB=AD=
2
,O是BD中點(diǎn),BD=2
∴AO⊥BD且 AO=
AB2-BO2
=1
△BCD中,連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且 CO=
BC2-BO2
=
3

△AOC中AO=1,CO=
3
,AC=2
∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD.(5分)
解:(II)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面ACD的法向量為
n
=(x,y,z)則
n
AD
=0
n
AC
=0

x+z=0
3
y-z=0
.(7分)精英家教網(wǎng)

令y=1得
n
=(-
3
,1,
3
)是平面ACD的一個(gè)法向量..(8分)
EC
=(-
1
2
,
3
2
,0)
∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h=
|
EC
n
|
|
n
|
=
21
7
.(10分)
(III)∵AO⊥平面BCD
AO
=(0,0,1)為平面BCD的一個(gè)法向量;
∴cos<
AO
,
n
>=
AO
n
|
AO
|•|
n
|
=
21
7

則二面角A-CD-B的余弦值為
21
7
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線與平面垂直的判定,空間點(diǎn)到平面的距離,二面角的平面角,其中(I)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化,(II)(III)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,利用向量法解決空間距離和夾角問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),△ABD和△BCD均為等邊三角形,
AB=2,AC=
6

(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求二面角A-BC-D的大小;
(III)求O點(diǎn)到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點(diǎn),且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD的各個(gè)面都是直角三角形,已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=a,BC=a,CD=c.
(1)若AC⊥CD,求證:AB⊥BD;
(2)求四面體ABCD的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.

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