Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是 

AC

的中點，BD交AC于E．
（1）若CD=2

3

，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r；
（2）求證：DC²=DE•DB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）OD⊥AC，設垂足為F，求出CF²=r²-1，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半徑．
（2）先證明△BCD∽△CED，可得

DE

DC

=

DC

DB

，從而問題得證；

解答： 解：（1）∵D是

AC

的中點，∴OD⊥AC，

設OD與AC交于點F，則OF=1，
在Rt△COF中，OC²=CF²+OF²，即CF²=r²-1，
在Rt△CFD中，DC²=CF²+DF²，
∴（2

3

）²=r²-1+（r-1）²，
解得r=3．
證明：（2）由D為

AC

中點知，∠ABD=∠CBD，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，
又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD～△CED，
∴

DE

DC

=

DC

DB

，
∴DC²=DE•DB；

點評：本題是選考題，考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質，屬于基礎題．