已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1時取得極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的單調減區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題：導數(shù)的概念及應用
分析：（1）依題意，得f′（x）=ax2-（a+1）x+b由于x=1為函數(shù)的一個極值點，則f′（1）=0，得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax2-（a+1）x+1，①當0＜a＜1時，1＜
1
a
，②當a＞1時，
1
a
＜1，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．
解答： 解：（1）依題意，得f′（x）=ax2-（a+1）x+b
由于x=1為函數(shù)的一個極值點，
則f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax2-（a+1）x+1，
①當0＜a＜1時，1＜
1
a
，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集為1＜x＜
1
a
；  
②當a＞1時，
1
a
＜1，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集為
1
a
＜x＜1；      
綜上，當0＜a＜1時，f（x）的單調減區(qū)間為（1，
1
a
）；
當a＞1時，f（x）的單調減區(qū)間為（
1
a
，1）．
點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，是一道基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在某校組織的一次籃球定點投籃測試中，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結果相互獨立．在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分，否則得0分．將學生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投；方案2：都在B處投籃．甲同學在A處投籃的命中率為0.5，在B處投籃的命中率為0.8．
（Ⅰ）甲同學選擇方案1．求甲同學測試結束后所得總分等于4的概率；求甲同學測試結束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ；
（Ⅱ）你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）證明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個行星是一個半徑為r（r＞0）的球．人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經緯度系統(tǒng)．已知行星表面上的A點落在北緯60°，東經30°；B點落在東經30°的赤道上；C點落在北緯60°，東經90°．在赤道上有點P滿足PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離．
（1）求AC兩點間的球面距離；
（2）求P點的經度；
（3）求AP兩點間的球面距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B，C是圓O上三個點，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B做直線BE交AD延長線于E，使BD平分∠EBC．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側面PAB是正三角形，AB=2，BC=
2
，PC=
6
．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知棱PA上有一點E．
（�。┤舳娼荅-BD-A的大小為45°，求AE：EP的值；
（ⅱ）若Q為四棱錐P-ABCD內部或表面上的一動點，且EQ∥平面PDC，請你判斷滿足條件的所有的Q點組成的幾何圖形（或幾何體）是怎樣的幾
何圖形（或幾何體）．（只需寫出結果即可，不必證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n+c（n∈N*），其中c是常數(shù)．
（1）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求常數(shù)c的值；
（2）若c=2，求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
x2-bx（b為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD，CD=1，AB=2，E是PB中點，點E在平面ACP上的射影是△ACP
的重心G．
（1）求PB與平面ACP所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

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