已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=
an
3n
的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜
5
4
．
分析：（1）利用S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，確定兩個(gè)方程，即可求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)公差為d，則∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，
又∵2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
∴an=a2+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
（2）證明：bn=
an
3n
=（3n-2）•
1
3n
，
∴Tn=1×
1
3
+4×
1
32
+…+（3n-2）•
1
3n
，①
∴
1
3
Tn=1×
1
32
+4×
1
33
+…+（3n-5）•
1
3n
+（3n-2）•
1
3n+1
，②
①-②得，
2
3
Tn=
1
3
+3×
1
32
+3×
1
33
+…+3•
1
3n
-（3n-2）•
1
3n+1
=
5
6
-
1
2
•
1
3n-1
-（3n-2）•
1
3n+1

∴Tn=
5
4
-
6n+5
4
×
1
3n
＜
5
4
．-------------------------（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確求和是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為100，則a5•a16的最大值是（　　）
A、100B、75C、25D、50

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為100，那么a7a14的最大值為（　�。�
A、75B、100C、50D、25

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
滿足：
OA
=α
OB
+β
OC
+γ
OD
(α，β，γ∈R)，B、C、D為不共線三點(diǎn)，給出下列命題：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；
②當(dāng)α＞0，β＞0，γ=
2
時(shí)，若|
OA
|=
3
，|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1，＜
OB
，
OC
＞=
5π
6
，＜
OD
，
OB
＞=＜
OD
，
OC
＞=
π
2
，則α+β的最大值為
6
-
2
；
③已知正項(xiàng)等差數(shù)列an（n∈N*），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn)不在直線BC上，則
1
a3
+
4
a2008
的最小值為9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點(diǎn)共線且A分
BC
所成的比λ一定為
α
β
．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中都是數(shù)列{an}中滿足ah-ak=ak-am的任意項(xiàng)．
（I）證明：m+h=2k；
（II）證明：Sm•Sh≤Sk2；
（III）若
Sm
、
Sk
、
Sh
也在等差數(shù)列，且a1=a，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•成都一模）已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
滿足：
OA
=α
OB
Z+β
OC
Z+γ
OD
Z（α，β，γ∈R），B、C、D為不共線三點(diǎn)，給出下列命題：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|
OB
Z|+|
OC
|+|
OD
|=1，＜
OB
，
OD
＞=＜
OC
，
OD
＞=
π
2
，＜
OB
，
OC
＞=
π
3
，則|
OA
|=2；
③已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn)不在直線BC上，則
1
a3
+
4
a2008
的最小值為10；
④若α=
4
3
，β=-
1
3
Z，γ=0，則A、B、C三點(diǎn)共線且A分
BC
所成的比λ一定為-4
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是
①②
①②
．

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