Question

已知y=f（x）在R上的圖象是一條連貫的曲線，且對(duì)于?∈R，f′（x）均存在，當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+

f(x)

x

＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+

1

x

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將求g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求xg（x）的最值問題，由已知求出h（x）=xg（x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．

解答： 解：∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+

f(x)

x

＞0，
即

xf′(x)+f(x)

x2

＞0
令h（x）=xf（x）+1，
∴h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴x＞0時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，
x＜0時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（0）=1＞0，
∴x≠0時(shí)，g（x）＞0恒成立，
故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0個(gè)，
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)問題，函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．