Question

已知直線l與橢圓C：

x2

3

+

y2

2

=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S_△OPQ=

6

2

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

6

2

？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知設(shè)出直線l的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線l的距離，根據(jù)三角形面積公式，即可求得x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值；
（Ⅱ）由（I）可求線段PQ的中點(diǎn)為M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假設(shè)存在D（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

6

2

由（Ⅰ）得u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，x₁²+x₂²=3；v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，y₁²+y₂²=2，從而求得點(diǎn)D，E，G，的坐標(biāo)，可以求出直線DE、DG、EG的方程，從而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，
∴

x12

3

+

y12

2

=1     ①
又∵S_△OPQ=

6

2

，
∴|x₁||y₁|=

6

2

      ②
由①②得|x₁|=

6

2

，|y₁|=1．此時(shí)x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2；
2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，是直線l的方程為y=kx+m（m≠0），將其代入

x2

3

+

y2

2

=1得
（3k²+2）x²+6kmx+3（m²-2）=0，△=36k²m²-12（3k²+2）（m²-2）＞0
即3k²+2＞m²，
又x₁+x₂=-

6km

3k2+2

，x₁•x₂=

3(m2- 2)

3k2+2

，
∴|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

2 6 3k2+2-m2

3k2+2

，
∵點(diǎn)O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

，
∴S_△OPQ=

1

2

1+k2

2 6 3k2+2-m2

3k2+2

•

|m|

1+k2

=

6 3k2+2-m2 |m|

3k2+2

，
又S_△OPQ=

6

2

，
整理得3k²+2=2m²，此時(shí)x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-

6km

3k2+2

）²-2

3(m2- 2)

3k2+2

=3，
y₁²+y₂²=

2

3

（3-x₁²）+

2

3

（3-x₂²）=4-

2

3

（x₁²+x₂²）=2；
綜上所述x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2．結(jié)論成立．

（Ⅱ）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知
|OM|=|x₁|=

6

2

，|PQ|=2|y₁|=2，
因此|OM|•|PQ|=

6

．
2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知 

x1+x2

2

=-

3k

2m

，

y1+y2

2

=k

x1+x2

2

+m=

-3k2+2m2

2m

=

1

m

|OM|²=（

x1+x2

2

）²+（

y1+y2

2

）²=

9k2

4m2

+

1

m2

=

6m2-2

4m2

=

1

2

(3-

1

m2

)，
|PQ|²=（1+k²）

24(3k2+2-m2)

( 2+3k2)2

=

2(2m2-1)

m2

=2（2+

1

m2

），
所以|OM|²|PQ|²=

1

2

(3-

1

m2

)×2×(2+

1

m2

)=（3-

1

m2

）（2+

1

m2

）

≤ (

3- 1 m2 + 2+ 1 m2

2

)2=

25

4

．
|OM|•|PQ|≤

5

2

．當(dāng)且僅當(dāng)3-

1

m2

=2+

1

m2

，
即m=±

2

時(shí)，等號(hào)成立．
綜合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值為

5

2

；

（Ⅲ）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

6

2

，
證明：假設(shè)存在D（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

6

2

由（Ⅰ）得
u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，x₁²+x₂²=3；v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，y₁²+y₂²=2
解得u²=x₁²=x₂²=

3

2

；v²=y₁²=y₂²=1．
因此u，x₁，x₂只能從±

6

2

中選取，
v，y₁，y₂只能從±1中選取，
因此點(diǎn)D，E，G，只能在（±

6

2

，±1）這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

6

2

矛盾．
所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．其中問題（III）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．