Question

某院校招收學(xué)員，指定三門考試課程．甲對(duì)三門指定課程考試通過(guò)的概率都是

1

2

，乙對(duì)三門指定課程考試通過(guò)的概率都是

2

3

，且三門課程考試是否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響．求：
（Ⅰ）甲恰好通過(guò)兩門課程的概率；
（Ⅱ）乙至多通過(guò)兩門課程的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多通過(guò)兩門課程的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲恰好通過(guò)兩門課程的為

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)3-2，計(jì)算后即可得到結(jié)果．
（Ⅱ）乙至多通過(guò)兩門課程的對(duì)立事件為乙通過(guò)三門課程的利用對(duì)立事件概率減法公式可得乙至多通過(guò)兩門課程的概率1-(

2

3

)3，計(jì)算后即可得到結(jié)果．
（Ⅲ）甲恰好比乙多通過(guò)兩門課程的事件分為兩種情況，甲恰通過(guò)兩門且乙恰都沒(méi)通過(guò)，甲恰通過(guò)三門且乙恰通過(guò)一門，而兩種情況為互斥事件，利用互斥事件概率加法公式即可得到甲恰好比乙多通過(guò)兩門課程的概率

解答：解：（Ⅰ）甲恰好通過(guò)兩門課程的概率為

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)3-2=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

．（3分）
（Ⅱ）乙至多通過(guò)兩門課程的概率1-(

2

3

)3=

19

27

．（7分）
（Ⅲ）設(shè)甲恰好比乙多通過(guò)兩門課程為事件A，
甲恰通過(guò)兩門且乙恰都沒(méi)通過(guò)為事件B₁，
甲恰通過(guò)三門且乙恰通過(guò)一門為事件B₂，
則A=B₁+B₂，B₁，B₂為互斥事件．（9分）
P(A)=P(B1)+P(B2)=

3

8

•

1

27

+

1

8

•

2

9

=

1

24

．（13分）
所以，甲恰好比乙多通過(guò)兩門課程的概率為

1

24

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．