Question

14．已知直線l：mx-y+1-m=0和圓C：x²+（y-1）²=5
（1）求證：不論m為何值，直線l與圓C總相交；
（2）設(shè)直線l與圓C的交點為A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，求直線的傾斜角．
（3）求弦AB的中點M的軌跡方程
（4）若定點p（1，1）分弦AB為$\frac{|AP|}{|PB|}$=$\frac{1}{2}$．求此時直線1的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：mx-y+1-m=0恒過過定點P（1，1），可判明在圓內(nèi)，即可證明直線l和圓C總相交．
（2）直線l與圓C的交點為A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，則圓心到直線的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出m，即可求直線的傾斜角；
（3）由已知得到直線過定點P（1，1），設(shè)出AB中點M的坐標，分M與P重合和不重合結(jié)合直角三角形中的勾股定理得弦AB的中點M的軌跡方程；
（4）把線段的長度比轉(zhuǎn)化為兩個想兩件的關(guān)系，由向量的坐標運算得到A，B兩點橫坐標間的關(guān)系，聯(lián)立直線與圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標的和，求出其中一點的橫坐標，最后再代入關(guān)于x的方程得到關(guān)于m的方程，求解得到m的值，則直線方程可求．

解答 （1）證明：直線l：mx-y+1-m=0恒過過定點P（1，1），
∵點P（1，1）在圓內(nèi)，∴直線l和圓C總相交；
（2）解：直線l與圓C的交點為A，B，若|AB|=$\sqrt{17}$，則圓心到直線的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴m=$±\sqrt{3}$，
∴直線的傾斜角為60°或120°．
（3）解：∵CM⊥MP，
∴弦AB的中點M的軌跡是以CP為直徑的圓，方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$；
（4）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{|AP|}{|PB|}$=$\frac{1}{2}$，得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$，
∴1-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-1），化簡的x₂=3-2x₁…①
又由直線代入圓的方程，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$…②
由①②解得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，代入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0

點評 本題考查了與直線有關(guān)的動點的軌跡方程，考查了直線與圓的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學生的靈活處理問題的能力和計算能力，是中高檔題．