Question

18．已知函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)且y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，則方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）的所有實(shí)數(shù)根的和-4．

Answer 1

分析 由已知可以得到已知函數(shù)為偶函數(shù)，因此由f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）得到|x|=|x+$\frac{3}{x+4}$|，解此絕對(duì)值不等式，化簡(jiǎn)為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得．

解答 解：由y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以f（x）是偶函數(shù)，
又函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是單調(diào)函數(shù)，
所以由方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）得到方程|x|=|x+$\frac{3}{x+4}$|，化簡(jiǎn)得6x²+24x+9=0，
所以方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）的所有實(shí)數(shù)根的和為-4；
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是明確已知函數(shù)的奇偶性，利用此性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．