Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處取得極小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求出的值，但需要驗(yàn)證；（2）需要分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值；（3）由（2）可得，利用裂項(xiàng)求和證明即可.

試題解析：（1）∵的定義域?yàn)?/span>，，

∵在處取得極小值，∴，即，此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證是的極小值點(diǎn)，故．

（2）∵，

①當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，矛盾．

②當(dāng)時(shí)，，令，得；，得．

（i）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，即遞減，∴矛盾．

（ii）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，即遞增，∴滿足題意．

綜上:．

（3）證明：由（2）知令，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）

∴當(dāng)時(shí)，．

即當(dāng)，有

．