Question

已知：函數(shù)．

(I)證明：f(x)與f^－1(x)的交點(diǎn)必在在直線y＝x上．

(II)是否存在一對反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y＝x上，若存在，請舉例說明；若不存，請說明理由．

(III)研究(I)和(II)，能否得出一般性的結(jié)論，并進(jìn)行證明．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(I)y＝2x＋1與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，∴f(x)與f－1(x)的交點(diǎn)必在在直線y＝x上． 　　(II)與其反函數(shù)y＝x2－1，(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為()，(－1，0)，(0，－1)，∴原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y＝x上． 　　(III)研究(I)和(II)能得出：如果函數(shù)f(x)是增函數(shù)，并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線y＝x上； 　　如果函數(shù)f(x)是減函數(shù)，并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y＝x上． 　　證明：設(shè)點(diǎn)(a，b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則點(diǎn)(b，a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有b＝f(a)，a＝f(b) 　　若a＝b時(shí)，交點(diǎn)顯然在直線y＝x上． 　　若a＜b，且f(x)是增函數(shù)時(shí)，有f(b)＜f(a)，從而有b＜a，矛盾；若b＜a且f(x)是增函數(shù)時(shí)，有f(a)＜f(b)，從而有a＜b，矛盾． 　　若a＜b，且f(x)是減函數(shù)，有f(b)＜f(a)，從而a＜b成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線y＝x上；同理，b＜a且f(x)是減函數(shù)時(shí)，交點(diǎn)也不在直線y＝x上． 　　綜上所述，如果函數(shù)f(x)是增函數(shù)，并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線y＝x上； 　　如果函數(shù)f(x)是減函數(shù)，并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y＝x上．

提示：

分析：問題(I)易于解答，而問題(II)解答必須認(rèn)真思考f(x)的性質(zhì)，從性質(zhì)的差異去尋求特例．問題(III)的證明著眼于函數(shù)單調(diào)性的差異解答． 　　說明：試題緊扣江蘇新考綱，突顯解決問題的探索性和研究性．試題難度較大．