Question

8．（1）求函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥2）的最小值，以及此時x的值；
（2）求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x+1}$（x≥1）的最值．以及此時x的值．

Answer 1

分析 利用換元，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值．以及此時x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵x≥2，
∴f′（x）＞0，
∴x≥2時，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥2）的最小值是$\frac{5}{2}$，此時x=2；
（2）設(shè)x+1=t（t≥2），則
函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x+1}$=t+$\frac{3}{t}$，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t=2，即x=1時函數(shù)的最小值為4．

點(diǎn)評 本題考查求函數(shù)的最值．以及此時x的值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．