Question

如圖，橢圓=1的兩焦點F₁，F(xiàn)₂與短軸兩端點B₁，B₂構(gòu)成∠B₂F₁B₁為120°，面積為的菱形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓相交于M，N兩點（M，N不是左右頂點），且以MN為直徑的圓過橢圓右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知∠B₂F₁B₁為=120°，及菱形F₁B₁F₂B₂的面積可得，從而可求b，c，再由a=可求，可求橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 整理，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=，x₁•x₂=，且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，而以MN為直徑的圓過橢圓的右頂點A可得即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可得m，k之間的關(guān)系，代入直線方程可知直線所過的定點
解答：解：（Ⅰ）∵∠B₂F₁B₁為=120°
∴∠B₁F₁O=60°

∵菱形F₁B₁F₂B₂的面積
bc=
即   
∴，
由a==2
故橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
則x₁+x₂=，x₁•x₂=，
且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0
∵以MN為直徑的圓過橢圓的右頂點A
∴AM⊥AN即
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
又y₁y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=，
∴+++4=0，
化簡得，7m²+4k²+16mk=0
解得m=-2k或m=-且均滿足3+4k²-m²＞0
當(dāng)m=-2k時，L：y=k（x-2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-時，L；y=k（x-），直線過定點
綜上，直線l過定點，定點坐標(biāo)為（）
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，利用直線的點斜式求解直線所過的定點，屬于直線與曲線的綜合性試題