Question

如圖所示，已知P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，圓C為三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓，求圓C的圓心的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．

解答： 解：因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，
所以由雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與橫軸的切點(diǎn)．
設(shè)D、E分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．考慮到同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PD+BF₁）-（PE+EF₂）
=DF₁-EF₂=AF₁-F₂A=（c+x）-（c-x）=2x=2a
所以x=a
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．