Question

15．定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），已知x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，導入解析式求出a的值，利用換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值；
（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），
∴f（0）=$\frac{1}{{4}^{0}}-\frac{a}{{2}^{0}}$=0，解得a=1，
則x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
設(shè)t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈$[\frac{1}{2}，1]$，
原函數(shù)為：y=t²-t=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
當t=1時，函數(shù)f（x）取到最大值為0，此時x=0；
（2）由題意知，當x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$，
設(shè)t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈$[\frac{1}{2}，1]$，
原函數(shù)為：y=t²-at，對稱軸是t=$\frac{a}{2}$，
∵f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，∴$\frac{a}{2}$$≤\frac{1}{2}$，解得a≤1，
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查換元法、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．