Question

已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點，
∴，解得a=1，b=1，
∴．…..
（2）設x₂＞x₁≥1，則
=，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)． …
（3）要使不等式對任意的恒成立，
只需，，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
同理可證f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
當時，f（x）在上單調(diào)遞減，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又，，
∴當時，，
∴，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…
分析：（1）由函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），兩點，列方程能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）設x₂＞x₁≥1，推導出f（x₁）-f（x₂）=，由此能夠證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）要使不等式對任意的恒成立，只需，，由此能求出a的取值集合．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查實數(shù)的取值集合的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意定義法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．