Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-EFGH中，M為DH的中點(diǎn)．
（1）求證：FC∥平面ADHE；
（2）求FM的長(zhǎng)；
（3）求證：平面BDHF⊥平面AMC．

Answer 1

分析：（1）要證FC∥平面ADHE，可考慮利用線面平行的判定定理，故需要在平面ADHE內(nèi)找一直線，使其與直線FC平行
，故考慮連接ED，由EF=CD，且EF∥CD，可得FC∥ED，故可證
（2）在直角三角形FMH中，利用勾股FM²=FH²+HM²，可求FM
（3）由HD⊥平面ABCD可得，AC⊥HD，又AC⊥BD可證AC⊥平面BDHF，從而可證

解答：證明：（1）連接ED，因?yàn)?nbsp;EF=CD，并且EF∥CD，所以FC∥ED
因?yàn)镋D?平面ADHE，F(xiàn)C?平面ADHE，
所以FC∥平面ADHE
（2）因?yàn)镠M=1，FH=2

2

在直角三角形FMH中，F(xiàn)M²=FH²+HM²，所以FM=3
（3）因?yàn)镠D⊥平面ABCD，所以AC⊥HD，又因?yàn)锳C⊥BD，BD∩DH=D，所以AC⊥平面BDHF
又AC?平面AMC，則平面BDHF⊥平面AMC

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用及面面垂直的判定定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的條件，添加合適的輔助線，通過(guò)線線的關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到目的．