Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線垂直于y軸，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ） 在（I）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 若x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得斜率為0，可得a=3：
（II）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅲ）運(yùn)用參數(shù)分離，可得a＜$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$在x＞1時(shí)恒成立，令h（x）=1+x²-lnx，求得導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性即可求得a的取值范圍．

解答 解：（I）f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．定義域?yàn)椋?，+∞），
導(dǎo)數(shù)${f^'}（x）=2x-a+\frac{1}{x}，a∈R$．
依題意，f′（1）=0．
所以f′（1）=3-a=0，
解得a=3；                    
（II）a=3時(shí)，f（x）=lnx+x²-3x，定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{1+2{x}^{2}-3x}{x}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
（III）由f（x）＞0，得a＜$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$在x＞1時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx+{x}^{2}}{x}$，則g′（x）=$\frac{1+{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=1+x²-lnx，則h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
所以h（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，h（x）＞h（1）=2＞0．
故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，即有g(shù)（x）＞g（1）=1，
所以 a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用參數(shù)分離和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．