Question

“無字證明”（proofs without words），就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn)．請利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系，寫出該圖所驗證的一個三角恒等變換公式：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

．

Answer 1

分析：左右圖中大矩形的面積相等，左邊的圖中陰影部分的面積為 S₁=sin（α+β），在右邊的圖中，陰影部分的面積 S₂ 等于2個陰影小矩形的面積之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面積 S₂ 還等于大矩形得面積S 減去2個小空白矩形的面積，再由
2個圖中空白部分的面積相等，可得S₁ =S₂ ，從而得出結(jié)論．

解答：解：在左邊的圖中大矩形的面積S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面積S減去4個直角三角形的面積就等于陰影部分的面積 S₁ ．
空白部分的面積等于4個直角三角形的面積，即2×（

1

2

sinβcosβ+

1

2

sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故陰影部分的面積 S₁ =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．
而在右邊的圖中陰影部分的面積 S₂ 等于2個陰影小矩形的面積之和，即S₂=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右邊的圖中大矩形的面積也等于S，S₂等于大矩形得面積S 減去2個小空白矩形的面積，
而2個空白矩形的面積之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左圖中空白部分的面積等于右圖中空白部分的面積．
故左右圖中陰影部分的面積也相等，即 S₁ =S₂ ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案為 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等式的證明，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．