Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且

，

其中為常數(shù).

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅲ)證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.

Answer 1

，.

解析:

解：（Ⅰ）由已知，得，，.

由，知

            即

解得    ，.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得  ，             ①

所以         .           ②

②-①，得    ，    ③

所以         .   ④

④-③，得    .

因?yàn)?nbsp;        ，

所以         .

又因?yàn)?nbsp;      ，

所以         ，

即           ，.

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

方法2

由已知，得，

又，且，

所以數(shù)列是唯一確定的，因而數(shù)列是唯一確定的.

設(shè)，則數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和.

于是   ，

由唯一性得   ，即數(shù)列為等差數(shù)列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.

要證       ，

只要證     .

因?yàn)?nbsp;      ，，

故只要證   ，

即只要證   .

因?yàn)?nbsp;     

          

，

所以命題得證.