Question

已知函數(shù)f（x）=

m

2

x²+2（1-m）x-4lnx（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意知f′(x)=mx+2(1-m)-

4

x

=

mx2+2(1-m)-4

x

=

(mx+2)(x-2)

x

，分別討論（i）當(dāng)m＜-1時(shí)，（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，（iii） 當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，（iv）當(dāng)m≥0時(shí)的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知，當(dāng)m≥-1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，2]上是遞減函數(shù)，所以f（x）_min=f（2）=4-2m-4ln2≥0，故-1≤m≤2-2ln2．當(dāng)m＜-1時(shí)，令g(x)=x-ln(x+1)，g′(x)=1-

1

x-1

=

x

x-1

，得ln（x+1）≤x）=8+

6

m

＞2＞0，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′(x)=mx+2(1-m)-

4

x

=

mx2+2(1-m)-4

x

=

(mx+2)(x-2)

x

，
（i）當(dāng)m＜-1時(shí)，令f'（x）=0，
得x1=-

2

m

，x2=2，
當(dāng)x∈(0，-

2

m

)∪(2，+∞)時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈(-

2

m

，2)時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，-

2

m

)和(2，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-

2

m

，2)．
（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，f′(x)=-

(x-2)2

x

≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（iii） 當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=2，x2=-

2

m

，
當(dāng)x∈(0，2)∪(-

2

m

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈(2，-

2

m

)時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)和(-

2

m

，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(2，-

2

m

)．
（iv）當(dāng)m≥0時(shí)，lf′(x)=

mx+2

x

•(x-2)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）．
（2）由于當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立等價(jià)于f（x）_min≥0．
由（1）知，當(dāng)m≥-1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，2]上是遞減函數(shù)，
所以f（x）_min=f（2）=4-2m-4ln2≥0，故-1≤m≤2-2ln2．
當(dāng)m＜-1時(shí)，
f(x)min=f(-

2

m

)=4-

2

m

-4ln(-

2

m

)=4-

2

m

-4ln((-

2

m

-1)+1)≥4-

2

m

-4(-

2

m

-1)，
（其中應(yīng)用了ln（x+1）≤x，
證明如下：
令g(x)=x-ln(x+1)，g′(x)=1-

1

x-1

=

x

x-1

，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，
所以g_min（x）=g（0）=0，所以g（x）≥0，
即ln（x+1）≤x）=8+

6

m

＞2＞0，
故當(dāng)m＜-1時(shí)，f（x）≥0恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2-2ln2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的范圍，是一道綜合題．