Question

f（x）=

1

2

x²-lnx．
①求函數(shù)f（x）的值域；
②討論方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①先求函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值及值域．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f（x）=

1

2

x²-lnx圖象與直線y=m交點(diǎn)個(gè)數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

解答： 解：①函數(shù)的定義域（0，+∞），
f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

，令f′（x）≥0得x≥1； f′（x）≤0得0＜x≤1，
所以函數(shù)在（0，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在x=1時(shí)取得最小值，f（x）_min=f（1）=

1

2

．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f（x）=

1

2

x²-lnx圖象與直線y=m交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，兩圖象無交點(diǎn)，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)為0，
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，兩圖象一個(gè)交點(diǎn)，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)為1，
當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，兩圖象兩個(gè)交點(diǎn)，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值域求解，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法研究了方程根的個(gè)數(shù)．