Question

1．設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），關(guān)于x的方程f（x）=f′（x）有兩個相等 實根，則$\frac{^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． 2$\sqrt{2}$+2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由f（x）=f′（x）化為：x²+（b-2）x+c-b=0，由于關(guān)于x的方程f（x）=f′（x）有兩個相等實數(shù)根，可得△=0，可得$c=\frac{^{2}+4}{4}$，代入$\frac{^{2}}{1+{c}^{2}}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+b，f（x）=f′（x）化為：x²+（b-2）x+c-b=0，
∵關(guān)于x的方程f（x）=f′（x）有兩個相等實數(shù)根，
∴△=（b-2）²-4（c-b）=0，
化為$c=\frac{^{2}+4}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{1+{c}^{2}}$=$\frac{^{2}}{1+\frac{（^{2}+4）^{2}}{16}}$=$\frac{16}{^{2}+\frac{32}{^{2}}+8}$≤$\frac{16}{2\sqrt{^{2}•\frac{32}{^{2}}}+8}$=2$\sqrt{2}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)b²=4$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$+1時取等號．
∴$\frac{^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值為$2\sqrt{2}$-2．
故選：A．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．