Question

在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規(guī)定機(jī)動(dòng)車(chē)相互之間的距離d（米）與車(chē)速v（千米/小時(shí)）需遵循的關(guān)系是d≥

1

2500

av2（其中a（米）是車(chē)身長(zhǎng)，a為常量），同時(shí)規(guī)定d≥

a

2

．
（1）當(dāng)d=

a

2

時(shí)，求機(jī)動(dòng)車(chē)車(chē)速的變化范圍；
（2）設(shè)機(jī)動(dòng)車(chē)每小時(shí)流量Q=

1000v

a+d

，應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速，使機(jī)動(dòng)車(chē)每小時(shí)流量Q最大．

Answer 1

分析：（1）把d=

a

2

代入d≥

1

2500

av2，解這個(gè)關(guān)于v的不等式即可；
（2）根據(jù)d滿足的不等式，以最小車(chē)距代替d，求此時(shí)Q的最值即可．

解答：解：（1）

a

2

=

1

2500

av²，v=25

2

，∴0＜v≤25

2

，（6分）
（2）當(dāng)v≤25

2

時(shí)，Q=

1000v

3 2 a

，Q是v的一次函數(shù)，v=25

2

，Q最大為

50000 2

3a

，
當(dāng)v＞25

2

時(shí)，Q=

1000

a( 1 v + v 25000 )

≤

25000

a

，
∴當(dāng)v=50時(shí)Q最大為

25000

a

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)建模和基本不等式的應(yīng)用．本題中對(duì)車(chē)距d有兩個(gè)限制條件，這兩個(gè)條件是在不同的車(chē)速的情況下的限制條件，解題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不能正確的使用這兩個(gè)限制條件對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行分類(lèi)，即在車(chē)速小于或等于25

2

時(shí)，兩車(chē)之間的最小車(chē)距是

a

2

，當(dāng)車(chē)速大于25

2

時(shí)，兩車(chē)之間的最小車(chē)距是

1

2500

av2．