Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）-f（2），且當x∈（1，2）時，f（x）=x²-3x+1，則f（

1

2

）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由奇函數(shù)的結論得：f（0）=0，再令x=1代入所給的式子求出f（2）的值，再令x=-

1

2

代入式子化簡，結合奇函數(shù)的性質(zhì)和條件求出f（

1

2

）的值．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
令x=1代入f（x+1）=f（x-1）-f（2）得，
f（2）=f（0）-f（2），解得f（2）=0，
令x=-

1

2

代入f（x+1）=f（x-1）-f（2）得，
f（

1

2

）=f（-

3

2

）-f（2）=f（-

3

2

），
∵當x∈（1，2）時，f（x）=x²-3x+1，f（-x）=-f（x），
∴f（

1

2

）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

）=-（

9

4

-

9

2

+1）=

5

4

，
故答案為：

5

4

．

點評：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)的應用，以及賦值法求函數(shù)值，注意需要根據(jù)條件選取恰當?shù)闹颠M行求解．