Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

解：（I）由題意，∵點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上
∴n=log₂（S_n+4）-2，
∴．…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，，…（4分）
當(dāng)也適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為．…（6分）
（II）∵，…（8分）
∴，①
，②
②-①得=
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1=n•2ⁿ⁺²…（12分）
分析：（I）根據(jù)點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上，可得n=log₂（S_n+4）-2，即，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)列求通項(xiàng)的方法，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．