Question

已知拋物線的方程為y²=4x，O為坐標原點
（Ⅰ）點A，B是拋物線上的兩點，且P（3，2）為線段AB的中點，求直線AB的方程
（Ⅱ）過點（2，0）的直線l交拋物線于點M，N，若△OMN的面積為6，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由中點公式可得y₁+y₂=4，將A，B兩點坐標代入拋物線方程，利用點差法，可得直線AB的斜率k=1，進而可得直線AB的方程
（Ⅱ）過點（2，0）的直線l的方程可設(shè)為x=my+2，聯(lián)立拋物線方程后，可由韋達定理得∴|y₁-y₂|=

16m2+32

，結(jié)合△OMN的面積為6，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進而可得直線l的方程．

解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵P（3，2）為線段AB的中點，
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
由

y12=4x1 y22=4x2

，
兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
即直線AB的斜率k=1
∴直線AB的方程為x-y-1=0
（II）∵直線l過點（2，0），故可設(shè)直線l的方程為x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

得y²-4my-8=0
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8
∴|y₁-y₂|=

16m2+32

∴△OMN的面積S=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

×2×

16m2+32

=6
即m²=

1

4

，解得m=±

1

2

∴直線l的方程為2x-y-4=0或2x+y-4=0

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐貝母的關(guān)系，熟練掌握點差法，聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達定理，弦長公式等方法是解答的關(guān)鍵．