Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值；
（Ⅲ）在△ABC中，若A＜B，f(A)=f(B)=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把

π

4

代入函數(shù)f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

，直接求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)x∈(0，

π

2

)，求出相位的范圍，然后求f（x）的最大值；
（Ⅲ）利用f(A)=f(B)=

1

2

，結(jié)合A＜B，求出A、B的大小，推出C 的值，通過(guò)正弦定理求

BC

AB

的值．

解答：解：（Ⅰ）f(

π

4

)=

3

sin2

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

1

2

．（4分）
（Ⅱ）f(x)=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．（6分）
∵0＜x＜

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時(shí)，即x=

5π

12

時(shí)，f（x）的最大值為1．（8分）
（Ⅲ）∵f(x)=sin(2x-

π

3

)，
若x是三角形的內(nèi)角，則0＜x＜π，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

．
令f(x)=

1

2

，得sin(2x-

π

3

)=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

，
解得x=

π

4

或x=

7π

12

．（10分）
由已知，A，B是△ABC的內(nèi)角，A＜B且f(A)=f(B)=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=π-A-B=

π

6

．（11分）
又由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)值的求法，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、最值的求法，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意角的范圍是確定A、B的關(guān)鍵．