Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱AA₁和BB₁的中點，則sin＜，＞的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出兩個向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角余弦，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出兩個向量的夾角正弦．
解答：解：設(shè)正方體棱長為2，以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，2，0），M（2，0，1），D₁（0，0，2），N（2，2，1）
可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），
∴•=2×2-2×2-1×1=-1，||=3，||=3
∴cos＜，＞==-
∴＜，＞
∴由三角函數(shù)的平方關(guān)系得sin＜，＞=
故答案為．
點評：本題考查向量的坐標(biāo)的求法、利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角的余弦值、同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系!