Question

設(shè)函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若0＜x＜1，判斷f（x）的單調(diào)性，用定義證明，并比較f（sinα）與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174809092307821/SYS201311031748090923078015_DA/0.png">，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則，
因?yàn)?＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函數(shù)在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)．
當(dāng)0時(shí)，cosα＞sinα，此時(shí)f（sinα）＞f（cosα），
當(dāng)時(shí)，cosα=sinα，此時(shí)f（sinα）=f（cosα），
當(dāng)時(shí)，cosα＜sinα，此時(shí)f（sinα）＜f（cosα）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵，要注意對(duì)角α進(jìn)行分類討論，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．