Question

16．如圖，四面體ABCD中，各棱相等，M是CD的中點(diǎn)，則直線BM與平面ABC所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 過A作AO⊥平面BCD，交BM于O，以O(shè)為原點(diǎn)，過O在平面BCD內(nèi)平行于DC的直線為x軸，OM為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BM與平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：過A作AO⊥平面BCD，交BM于O，設(shè)AB=2，
∵四面體ABCD中，各棱相等，M是CD的中點(diǎn)，
∴OA、OD、OM兩兩垂直，$OB=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OM=$\frac{1}{3}BM=\frac{1}{3}\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
以O(shè)為原點(diǎn)，過O在平面BCD內(nèi)平行于DC的直線為x軸，OM為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{BM}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，1），
設(shè)直線BM與平面ABC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{3}×\sqrt{9}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線BM與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．