Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，長軸長為2

3

，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若m=1，且

OA

•

OB

=0，求k的值（O點為坐標原點）；
（Ⅲ）若坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件可知

c a = 6 3 a= 3

解得c=

2

．由a²=b²+c²，得b=1．由此可得到橢圓方程．

（Ⅱ）由題意知y=kx+1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0，由△＞0可知x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1•x2=0．再由

OA

•

OB

=0能夠推導出k的值
（Ⅲ）由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，可得m2=

3

4

(k2+1)．將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．然后根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c（c＞0），依題意

c a = 6 3 a= 3

解得c=

2

．
由a²=b²+c²，得b=1．
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0&，
則△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0&，解得k≠0．
故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1•x2=0．
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=(1+k2)×0+k•

-6k

1+3k2

+1=

1-3k2

3k2+1

=0∴k=±

3

3

．
（Ⅲ）由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，可得m2=

3

4

(k2+1)．
將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）
∴x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1•x2=

3m2-3

1+3k2

．
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4(k≠0)．
當且僅當9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

時等號成立．
經(jīng)檢驗，k=±

3

3

滿足（*）式．
當k=0時，|AB|=

3

．
綜上可知|AB|_max=2．∴當|AB|最大時，△AOB的面積取最大值S=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要綜合運用橢圓的性質(zhì)，需要熟練地掌握公式的靈活運用．