Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，滿足S_n=2a_n-1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）設(shè)bn=

log2(1+Sn)

an

，求{b_n}的前n項和T_n：

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時，代入可得a₁=1，當(dāng)n≥2時，可得a_n=2a_n-1，由等比數(shù)列的通項公式可得；
（2）由（1）可得S_n=2ⁿ-1，Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

由錯位相減法可得．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，可得a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}的通項a_n=2^n-1
（2）由（1）可得S_n=2a_n-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴bn=

log2(1+Sn)

an

=

log22n

2n-1

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
兩邊同乘以

1

2

可得，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②可得

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

點評：本題考查錯位相減法求和，涉及等比數(shù)列的判定，屬中檔題．