Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a+1）e^x，g（x）=（x²-2）e^x+2．
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線為l：y=2ex+b，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）有兩個(gè)不同極值點(diǎn)m，n（m＜n），且|m+n|≥|mn|-1，記F（x）=e²f（x）+g（x），求F（m）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出切線的斜率，故求出a，b的值，
（2）需要分兩種情況討論，單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，采用分離參數(shù)法，求出參數(shù)的最值即可，
（3）先求出a的范圍，再求出m的范圍，化簡(jiǎn)F（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出F（m）的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
由題意：f′（1）=（4-a）e=2e，
解得：a=2，
∴f（x）=（x²-1）e^x    
又f（1）=0=2e+b，
∴b=-2e   
（2）若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)
則f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≤0，
若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)
則f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≤0，
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≥4，
綜上，若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）；
（3）令f′（x）=0得：x²+2x-a+1=0
由題意：△=4-4（1-a）=4a＞0，
即a＞0，
且：m+n=-2，mn=1-a（m＜n），
∵|m+n|≥|mn|-1，
∴|a-1|≤3，
∴0＜a≤4，
∵f′（m）=（m²+2m-a+1）e^m=0，
∴a=m²+2m+1，
∴0＜m²+2m+1≤4
∴-3≤m≤1且m≠-1，
又∵m＜n，
∴-3≤m＜-1
∴F（x）=（x²-a+1）e^x+2+（x²-2）e^x+2=（2x²-a-1）e^x+2
∴F（m）=（2m²-a-1）e^m+2=（m²-2m-2）e^m+2
∴F′（m）=（m²-4）e^m+2
∴F（m）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1）上單調(diào)遞減
∴F_max（m）=F（-2）=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過(guò)程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．