已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
分析：（1）若AB過M點(diǎn)，設(shè)直線AB：x-2p=my，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（2）若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．
解答：證明：（1）若AB過M點(diǎn)，設(shè)直線AB：x-2p=my．  
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
x=my+2p
y2=2px
，可得y2-2pmy-4p2=0
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
(y1y2)2
4p2
+y1y2=
16p4
4p2
-4p2=0，
∴OA⊥OB
（2）若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n．
由
x=my+n
y2=2px
，可得y2-2pmy-2pn=0
∵
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
(y1y2)2
4p2
+y1y2=0，
∴y1y2=-4p2=-2pn，
∴n=2p，
即直線AB：x=my+2p過定點(diǎn)（2p，0）．
∴直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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