Question

如圖，已知橢圓C_l：

x2

11

+y²=1，雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若以C₁的長軸為直徑的圓與C₂的一條漸近線相交于A，B兩點，且C₁與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則C₂的離心率為（　�。�

• A、5
• B、

  17

• C、

  5

• D、

  2 14

  7

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的應(yīng)用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為y=

b

a

x，代入

x2

11

+y²=1，可得交點的橫坐標(biāo)，利用C₁與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，可得b=2a，即可求出C₂的離心率．

解答： 解：雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為y=

b

a

x，
代入

x2

11

+y²=1，可得x=±

11 a

a2+11b2

，
∵C₁與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，
∴

1+ b2 a2

•2•

11 a

a2+11b2

=

1

3

•2

11

，
整理可得b=2a，
∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

，
故選：C．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．