Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x），對于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．（Ⅰ）計(jì)算f（1）；（Ⅱ）證明f （x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)f(2)=-

1

2

時(shí)，解不等式f（x²-3x）＞-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用賦值法求f（1）的值，因?yàn)槎�義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，即可求出f（1）的值．
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，步驟是，先設(shè)所給區(qū)間上任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小，比較時(shí)，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂用

x2

x1

x1表示即可．
（Ⅲ）先根據(jù)f(2)=-

1

2

以及f（m•n）=f（m）+f（n）求出f（4）=-1，把不等式f（x²-3x）＞-1化為f（x²-3x）＞f（4），再利用（II）中判斷的函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
證明：（II）設(shè)0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)．
因?yàn)?＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，而當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
解：（Ⅲ）因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集為{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．

點(diǎn)評：本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及借助函數(shù)單調(diào)性解不等式．