【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為1，是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：成等差數(shù)列.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)弦長(zhǎng)和焦點(diǎn)關(guān)系求解方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理分別計(jì)算和的關(guān)系即可得證.

解：

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.

又拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)在橢圓上.

由，解得，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，代入橢圓方程得兩點(diǎn)坐標(biāo)為、，此時(shí)，.

∴成等差數(shù)列.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由得

∴，

直線方程為，則，，，.

，.

∴、、成等差數(shù)列，綜上、、成等差數(shù)列.

方法二 設(shè)點(diǎn)、、

當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)，，、、成等差數(shù)列

當(dāng)時(shí)，的斜率為，方程為，

由得

∴

∴

∴、、成等差數(shù)列

綜上、、成等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。

（1）寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）若成等比數(shù)列，求a的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的周長(zhǎng)恰為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且 ，求面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在一場(chǎng)拋擲骰子的游戲中，游戲者最多有三次機(jī)會(huì)拋擲一顆骰子，游戲規(guī)則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為6則記為成功.游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進(jìn)行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.

（1）求游戲者有機(jī)會(huì)第3次拋擲骰子的概率；

（2）設(shè)游戲者在一場(chǎng)拋擲骰子游戲中所得的分?jǐn)?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓和，其中，為正常數(shù)，滿足或，一個(gè)動(dòng)圓與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（ ）

A.兩個(gè)橢圓B.兩個(gè)雙曲線

C.一個(gè)雙曲線和一條直線D.一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】解關(guān)于的不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（I）若為上的一點(diǎn)，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動(dòng)點(diǎn).

（I）求動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)從變動(dòng)到時(shí)，線段所掃過(guò)的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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