Question

已知f（x）=ax²-3x-4
（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范圍．
（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范圍．
（3）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式即可，（2）中將a≥

3x+4

x2

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

3x+4

x2

的最值問(wèn)題，（3）里的解不等式問(wèn)題需將a分情況進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立
令g（a）=ax²-3x-4，
∴

g(1)≥0 g(2)≥0

，
即

x2-3x-4≥0 2x2-3x-4≥0

，
解得：x≥4，或x≤-1．
∴x的范圍為：{x|x≥4，或x≤-1}．
（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立
?ax²-3x-4≥0在x∈[1，2]上恒成立
a≥

3x+4

x2

在x∈[1，2]上恒成立
y=

3x+4

x2

=4×(

1

x

)2+3(

1

x

)，

1

x

∈[

1

2

，1]
y_max=7，
故a的范圍是[7，∞）．
（3）由ax²-3x-4≥0
①a＞0時(shí)，△=9+16a＞0恒成立，
解集為：{x|x≥

3+ 9+16a

2a

或x≤

3- 9+16a

2a

}，
②a=0時(shí)，解集為：{x|x≤-

4

3

}，
③-

9

16

≤a＜0時(shí)，
解集為：{x|

3+ 9+16a

2a

≤x≤

3- 9+16a

2a

}，
④a＜-

9

16

時(shí)，
解集為：∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，解題過(guò)程中用到了轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想．