已知向量
a
=(sinx，1+cos2x)，
b
=(sinx-cosx，cos2x+
1
2
)，定義函數(shù)f(x)=
a
•(
a
-
b
)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，∠A為銳角且A+B=
7π
12
，f（A）=1，BC=2，求邊AC的長(zhǎng)．
分析：（1）函數(shù)f（x）=
a
•
b
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，∠A為銳角，由f（A）=1，可得
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1，sin(2A+
π
4
)  = 
2
2
，故
A=
π
4
，再由 A+B=
7π
12
，求得 B=
π
3
，由正弦定理得 AC的值．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=
a
•
b
=sinxcosx+
cos2x+1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，
令  2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，得 kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
[kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
]，k∈z．
（2）在△ABC中，∠A為銳角，由f（A）=1，BC=2，可得
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1，
∴sin(2A+
π
4
)  = 
2
2
，故 A=
π
4
．∵A+B=
7π
12
，∴B=
π
3
．
在△ABC中，由正弦定理得 
BC
sinA
=
AC
sinB
，∴AC=
BC•sinB
sinA
=
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理的應(yīng)用，求出 A=
π
4
，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫(xiě)出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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