Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，從而可求f（x）的最小正周期和最值；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

…（2分）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，最大值為

5

2

，最小值為

1

2

…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
故-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）…（8分）
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）…（10分）
故函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值，屬于中檔題．