Question

現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫著1，1，2，2，3，3六個(gè)數(shù)字，
（1）ξ表示投擲3次上面玩具出現(xiàn)正面朝上的數(shù)字為1的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)N（n，0），其中n∈N^*；動(dòng)點(diǎn)Q由原點(diǎn)O出發(fā)，按照投擲的數(shù)字沿x軸自左向右移動(dòng)相應(yīng)個(gè)單位長(zhǎng)度（如投出的數(shù)字為1就沿x軸向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，以此類推）
①當(dāng)n=5時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q恰好能移動(dòng)到N點(diǎn)的概率．
②若動(dòng)點(diǎn)Q恰好能移動(dòng)到N點(diǎn)的不同移動(dòng)方法種數(shù)記為a_n，求a₈，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用ξ服從二項(xiàng)分布，或確定ξ的所有取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）①記“動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件A，記“投擲i次，動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件B_i，i=2、3、4、5，顯然B₂、B₃、B₄、B₅兩兩互斥，利用互斥事件的概率公式，即可求得結(jié)論；
②方法一，利用排列知識(shí)，分別求出投擲2、3、4、5次時(shí)的情況總數(shù)，即可求得結(jié)論；
方法二，利用從第四項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于其前三項(xiàng)和，可得結(jié)論．

解答：解：（1）依題意得ξ服從二項(xiàng)分布，即：ξ～B (3，

1

3

)，所以Eξ=np=3×

1

3

=1…（3分）
另解：依題意得ξ的所有取值為0、1、2、3

p(ξ=0)= C 0 3 ( 1 3 )0( 2 3 )3= 8 27 ，p(ξ=1)= C 1 3 ( 1 3 )1( 2 3 )2= 4 9 p(ξ=2)= C 2 3 ( 1 3 )2( 2 3 )1= 2 9 ，p(ξ=3)= C 3 3 ( 1 3 )3( 2 3 )0= 1 27

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1…（3分）
（2）①記“動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件A，記“投擲i次，動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件B_i，i=2、3、4、5，顯然B₂、B₃、B₄、B₅兩兩互斥．
投擲2次時(shí)，分別投出2、3和3、2這兩種情況，所以P(B2)=2×

1

3

×

1

3

=

2

9

…(4分)
投擲3次時(shí)，分別投出1、1、3；1、3、1；3、1、1；2、2、1；2、1、2；1、2、2這6種情況，
所以P(B3)=6×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

2

9

…(5分)
投擲4次時(shí)，分別投出1、1、1、2；1、1、2、1；1、2、1、1；2、1、1、1這4種情況，所以P(B4)=4×

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

4

81

…(6分)
投擲5次時(shí)，只有投出1、1、1、1、1這一種情況，所以P(B5)=

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

243

…(7分)∴P(A)=P(B2+B3+B4+B5)=P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)=

121

243

…(8分)
（2）②方法一：
投擲3次時(shí)，投出1個(gè)2、2個(gè)3、恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有3種，…（9分）
投擲4次時(shí)，投出2個(gè)1、2個(gè)3或1個(gè)3、2個(gè)2、1個(gè)1或4個(gè)2恰好都能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有

A 4 4

A 2 2 • A 2 2

+

A 4 4

A 2 2

+1=19種…(10分)
投擲5次時(shí)，投出1個(gè)3、1個(gè)2、3個(gè)1或3個(gè)2、2個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有

A 5 5

A 3 3

+

A 5 5

A 3 3 • A 2 2

=30種…(11分)
投擲6次時(shí)，投出1個(gè)3、5個(gè)1或2個(gè)2、4個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有

A 6 6

A 5 5

+

A 6 6

A 2 2 • A 4 4

=21種…(12分)
投擲7次時(shí)，投出1個(gè)2、6個(gè)1、恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有

A 7 7

A 6 6

=7種…(13分)
投擲8次時(shí)，投出8個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有1種，
所以a₈=3+19+30+21+7+1=81…（14分）
②方法二：依題意得：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=13，a₆=24，a₇=44，a₈=81…（14分）
注：從第四項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于其前三項(xiàng)和．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．