Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=lnx+

a

x

，（a＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）的極值；
（2）已知x₁＞0，函數(shù)h（x）=

f(x)-f(x1)

x-x1

，x∈（x₁，+∞），判斷并證明h（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，試比較f(

x1+x2

2

)與

1

2

[f(x1)+f(x2)]，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）先判斷h（x）在（x₁，+∞）上是增函數(shù)，再求導(dǎo)證明；
（3）由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函數(shù)，從而令x=

x1+x2

2

求得．

解答： 解：（1）g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令g'（x）=0，得x=a．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=a時(shí)，g（x）有極小值lna+1，g（x）無極大值．
（2）h（x）在（x₁，+∞）上是增函數(shù)，證明如下，
h′(x)=

f′(x)(x-x1)-f(x)+f(x1)

(x-x1)2

=

(1- 1 x )(x-x1)-x+lnx+x1-lnx1

(x-x1)2

=

x1 x +lnx-1-lnx1

(x-x1)2

，
由（1）知φ(x)=

x1

x

+lnx在[x₁，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，φ（x）＞φ（x₁），
即

x1

x

+lnx＞1+lnx1，
∴h'（x）＞0，
即h（x）在（x₁，+∞）上是增函數(shù)．
（3）0＜x₁＜x＜x₂，由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函數(shù)，
則

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x)-f(x1)

x-x1

，
令x=

x1+x2

2

得，
f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．