Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x-

1

2丨x丨

．
（1）若f（x）=

3

2

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解�。�1）當(dāng)x＜0時，f（x）=0，不符合題意；
當(dāng)x≥0時，f（x）=2^x-

1

2x

，
由2^x-

1

2x

=

3

2

，得2•2^2x-3•2^x-2=0，
將其看成關(guān)于2^x的一元二次方程，解之得2^x=2或-

1

2

，
結(jié)合2^x＞0，得2^x=2，解之得x=1；
（2）當(dāng)t∈[1，2]時，2^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1），
∵2^2t-1＞0，
∴不等式等價于m≥-（2^2t+1），
∵t∈[1，2]，函數(shù)F（t）=-（2^2t+1）是單調(diào)減函數(shù)
∴-（2^2t+1）的最小值為F（2）=-17，最大值為F（1）=-5
即-（2^2t+1）∈[-17，-5]，
故若原不等式恒成立，則m的取值范圍是[-5，+∞）．