Question

（本小題滿分14分）

設A(－2，0)，B(2，0)，M為平面上任一點，若|MA|＋|MB|為定值，且cosAMB的最小值為－.

(1)求M點軌跡C的方程；(2)過點N(3，0)的直線l與軌跡C及單位圓x²+y²=1自右向左依次交于點P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請證明你的結論.

Answer 1

(1) 曲線C的方程是=1 

解析:

解：(1)設M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.

可設|MA|＋|MB|＝2a(a＞0).∴cosAMB=

=

=－1.     而|MA|＋|MB|≥2，

∴|MA|·|MB|≤a².∴－1≥－1.

∵cosAMB最小值為－，∴－1=－.∴a=.

∴|MA|+|MB|=2＞|AB|.∴M點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且a=，c=2.

∴b²=a²－c²=2.∴曲線C的方程是=1.       

(2)設直線l的方程是y＝k(x－3).

1°當k＝0時，顯然有|PQ|＝|RS|；此時l的方程是y＝0.

2°當k≠0時，∵|PQ|＝|RS|，

∴PS與RQ的中點重合，設中點為G，則OG⊥PS.

由，得(1+3k²)x²－18k²x+27k²－6=0.                                   

設P(x₁，y₁)，S(x₂，y₂)，

則x₁+x₂=，y₁+y₂=k(x₁－3)+k(x₂－3)=.

∴G(，).    ∴×k=－1無解，此時l不存在，

綜上，存在一條直線l：y＝0滿足條件.