Question

某基金管理公司管理著一只開放式基金，用x_n表示該基金在第n年初的總資產(chǎn)，該基金相對于年初的總資產(chǎn)來說，年投資收益率為a，在第n年內(nèi)，該基金持有人贖回該基金的資金與x_n成正比，投資者購買該基金的資金與x_n成反比，比例系數(shù)依次為正常數(shù)b、c（贖回后該基金的資產(chǎn)相應(yīng)減少，購買后該基金的資產(chǎn)相應(yīng)增加）．該基金每年向管理公司交納管理費(fèi)，向基金持有人分紅的紅利和其他開支合計為正常數(shù)d．
（1）求x_n+1和x_n的關(guān)系式；
（2）若x₁取一個恰當(dāng)?shù)闹禃r可使該基金每年年初的總資產(chǎn)保持不變，試寫出a、b、c、d應(yīng)滿足的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)在第n年內(nèi)，該基金持有人贖回該基金的資金與x_n成正比，投資者購買該基金的資金與x_n成反比，比例系數(shù)依次為正常數(shù)b、c（贖回后該基金的資產(chǎn)相應(yīng)減少，購買后該基金的資產(chǎn)相應(yīng)增加）．該基金每年向管理公司交納管理費(fèi)，向基金持有人分紅的紅利和其他開支合計為正常數(shù)d，可得x_n+1和x_n的關(guān)系式；
（2）令x_n+1=x_n，則可得（a-b）x_n²-dx_n+c=0，再分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，x_n+1=（1+a）x_n-bx_n+

c

xn

-d；
（2）令x_n+1=x_n，則可得（a-b）x_n²-dx_n+c=0，
由題意，方程有正實(shí)數(shù)根．
當(dāng)a-b=0時，方程有正實(shí)數(shù)根

c

d

；
當(dāng)a-b＜0時，因為

c

a-b

＜0，所以方程有一正實(shí)數(shù)根和一負(fù)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a-b＞0時，因為

c

a-b

＞0，

d

a-b

＞0，要使方程有正實(shí)數(shù)根，則△=d²-4（a-b）c≥0，
∴a、b、c、d應(yīng)滿足的關(guān)系：d²-4（a-b）c≥0．

點(diǎn)評：本題是對數(shù)列、方程等知識的綜合考查，在作數(shù)列方面的應(yīng)用題時，一定要認(rèn)真真審題，仔細(xì)解答，避免錯誤．