設(shè)向量
e1
，
e2
滿足|
e1
|=2，|
e2
|=1且
e1
，
e2
的夾角為
π
3
，若向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為非鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是
（-∞，-7）∪（-
1
2
，
14
2
）∪（
14
2
，+∞）
（-∞，-7）∪（-
1
2
，
14
2
）∪（
14
2
，+∞）
．
分析：題干錯誤：向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為非鈍角，可能是：向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為鈍角，

由題意可得
e1
•
e2
=1，（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0，且向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
不共線．由（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0 求得 t的范圍；
由
2t
1
≠
7
t
，解得t的范圍，再把這2個t的范圍取交集，即得所求．
解答：解：由題意可得
e1
•
e2
=2×1×cos
π
3
=1，
由于向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為鈍角，可得（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0，且向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
不共線．
由（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0 可得 2t2+15t+7＜0，解得 t＜-7，或 t＞-
1
2
．
再由向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
不共線，可得
2t
1
≠
7
t
，解得 t≠±
14
2
．
綜上可得，實數(shù)t的取值范圍是 （-∞，-7）∪（-
1
2
，
14
2
）∪（
14
2
，+∞），
故答案為 （-∞，-7）∪（-
1
2
，
14
2
）∪（
14
2
，+∞）．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量共線的性質(zhì)，用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)兩向量e1、e2滿足|
e
1|=2，|
e
2|=1，
e
1、
e
2的夾角為60°，若向量2t
e
1+7
e
2與向量
e
1+t
e
2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰安二模）設(shè)單位向量
e1
，
e2
滿足
e1
•
e2
=-
1
2
，則|
e1
+2
e2
|=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•洛陽二模）給出下列命題：
①設(shè)向量
e1
，
e2
滿足|
e1
|=2，|
e2
|=1，
e1
，
e2
的夾角為
π
3
．若向量2t
e1
+7
e2
與
e1
+t
e2
的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是（-7，-
1
2
）；
②已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差為s2=
1
4
（x12+x22+x32+x42）-4，則x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均數(shù)為1
③設(shè)a，b，c分別為△ABC的角A，B，C的對邊，則方程x2+2ax+b2=o與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°；
④若f（n）表示n2+1（n∈N）的各位上的數(shù)字之和，如112+1=122，1+2+2=5，所以f（n）=5，記f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…fk+1（n）=f[fk（n）]，k∈N，則f20（5）=11．
上面命題中，假命題的序號是
②
②
 （寫出所有假命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)兩向量
e1
，
e2
滿足|
e1
|=2，|
e2
|=1，
e1
、
e2
的夾角為60°，
（1）試求|3
e1
+
e2
|
（2）若向量2t
e1
+7
e2
與向量
e1
+t
e2
的夾角余弦值為非負值，求實數(shù)t的取值范圍．

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