Question

設(shè)對(duì)于不大于

5

4

的所有正實(shí)數(shù)a，如果滿(mǎn)足不等式|x-a|＜b的一切實(shí)數(shù)x，也滿(mǎn)足不等式|x-a2|＜

1

2

，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得b＞0，求出這兩個(gè)不等式的解集，由題意可得 a²-

1

2

≤a-b，且 a+b≤a²+

1

2

，0＜a≤

5

4

．由此可得b小于或等于-a²+a+

1

2

 的最小值，且b小于或等于 a²-a+

1

2

的最小值，由此求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：由題意可得b＞0是不用求的，否則|x-a|＜b都沒(méi)解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式|x-a2|＜

1

2

可得，-

1

2

＜x-a²＜

1

2

，即 a²-

1

2

＜x＜a²+

1

2

．
第二個(gè)不等式的范圍要大于第一個(gè)不等式，這樣只要滿(mǎn)足了第一個(gè)不等式，
肯定滿(mǎn)足第二個(gè)不等式，命題成立．
故有 a²-

1

2

≤a-b，且 a+b≤a²+

1

2

，0＜a≤

5

4

．
化簡(jiǎn)可得 b≤-a²+a+

1

2

，且b≤a²-a+

1

2

．
由于-a²+a+

1

2

=-(a-

1

2

)2+

3

4

∈[

3

16

，

3

4

]，故 b≤

3

16

．
由于 a²-a+

1

2

=(a-

1

2

)2+

1

4

∈[

1

4

，

13

16

]．故 b≤

1

4

．
綜上可得 0＜b≤

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．