Question

已知函數(shù)f（x）=lg（4-k•2^x），（其中k實(shí)數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，2]上有意義，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)真數(shù)大于零，可由4-k2^x＞0求得函數(shù)的定義域，要注意分類(lèi)討論．
（Ⅱ）f（x）在（-∞，2]上有意義，即對(duì)任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立可轉(zhuǎn)化為k＜

4

2x

x∈（-∞，2]恒成立求解，只需求得u=

4

2x

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：4-k2^x＞0（2分）
即解不等式：k2^x＜4（3分）
當(dāng)k≤0，不等式的解為R（5分）
當(dāng)k＞0，不等式的解為x＜log2

4

k

（7分）
所以當(dāng)k≤0f（x）的定義域?yàn)镽；
當(dāng)k＞0f（x）的定義域?yàn)?span id="rjpo9wf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞，log2

4

k

)（8分）
（Ⅱ）由題意可知：對(duì)任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立（10分）
得k＜

4

2x

（12分）
又x∈（-∞，2]，u=

4

2x

的最小值1．（14分）
所以符合題意的實(shí)數(shù)K的范圍是（-∞，1）（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域的求法及定義域的應(yīng)用，定義域常見(jiàn)類(lèi)型有分式函數(shù)，根式函數(shù)，基本函數(shù)的定義域等．