Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n=1，2，3，…，有，當(dāng)a₁=11時(shí)，a₁₀₀=________；若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，則p的值為________．

Answer 1

62    1或5
分析：由題設(shè)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，故a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄；由若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，知a_n=p，a_n+1=3p+5，，再由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，能求出p．
解答：由題設(shè)知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
，
a₄=3×19+5=62，
，
a₆=3×31+5=98，
，
a₈=3×49+5=152，
，
∴{a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，
∴a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄=62．
若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，，
∴（3-2^k）p=-5，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，p=5，
當(dāng)k=3時(shí)，p=1．
故答案為：62，1或5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，借助數(shù)列的周期性進(jìn)行求解．